💡Okay, so I need to figure out the range of values for ( a ) in the function ( y = log_{0.5}(x^2 + ax + 1) ) such that the range of this function is all real numbers, ( mathbb{R} ). Hmm, let me break this down step by step.First, I remember that the logarithmic function ( log_b(z) ) has a range of all real numbers if and only if its argument ( z ) can take on all positive real numbers. That is, the domain of the logarithm function is ( z > 0 ), and if ( z ) can cover all positive values, then the logarithm can indeed output any real number. So, for ( y ) to have a range of ( mathbb{R} ), the expression inside the logarithm, which is ( x^2 + ax + 1 ), must be able to take on every positive value. Therefore, the quadratic function ( f(x) = x^2 + ax + 1 ) must have a range that includes all positive real numbers. Wait, but quadratics usually have a minimum or maximum value depending on the coefficient of ( x^2 ). In this case, since the coefficient is positive (1), the parabola opens upwards, meaning it has a minimum value. So, the range of ( f(x) ) is ( [k, infty) ), where ( k ) is the minimum value of the quadratic.For ( f(x) ) to cover all positive real numbers, the minimum value ( k ) must be less than or equal to zero. Because if the minimum is above zero, then the quadratic can't take on values between zero and that minimum, which would mean the logarithm can't take on all real numbers. So, I need to ensure that the minimum value of ( f(x) ) is less than or equal to zero.To find the minimum value of the quadratic ( f(x) = x^2 + ax + 1 ), I can use the vertex formula. The x-coordinate of the vertex is at ( x = -frac{a}{2} ). Plugging this back into the quadratic gives the minimum value:[fleft(-frac{a}{2}right) = left(-frac{a}{2}right)^2 + aleft(-frac{a}{2}right) + 1 = frac{a^2}{4} - frac{a^2}{2} + 1 = -frac{a^2}{4} + 1]So, the minimum value ( k ) is ( 1 - frac{a^2}{4} ). For this minimum to be less than or equal to zero:[1 - frac{a^2}{4} leq 0]Solving this inequality:[1 leq frac{a^2}{4}][4 leq a^2][a^2 geq 4]Taking square roots on both sides:[|a| geq 2]Which means:[a geq 2 quad text{or} quad a leq -2]So, the range of values for ( a ) is all real numbers less than or equal to -2 and greater than or equal to 2. In interval notation, that's ( (-infty, -2] cup [2, infty) ).Wait, let me double-check. If ( a ) is between -2 and 2, then ( a^2 ) is less than 4, so the minimum value ( 1 - frac{a^2}{4} ) would be positive. That means the quadratic never reaches zero or negative values, so the logarithm's argument is always positive but doesn't cover all positive real numbers—only from the minimum upwards. Hence, the logarithm's range wouldn't be all real numbers. So, yes, ( a ) must be outside of (-2, 2) for the quadratic to dip low enough to allow the logarithm to take on all real values.I think that makes sense. So, the values of ( a ) must satisfy ( |a| geq 2 ), which gives the intervals ( (-infty, -2] ) and ( [2, infty) ).**Final Answer**The range of values for ( a ) is boxed{(-infty, -2] cup [2, +infty)}.

💡Хорошо, давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом. У нас есть прямоугольник, и в одной из его клеток закрашена одна клетка. Саша может закрашивать другие клетки по правилу: клетка может быть закрашена, если у нее нечетное количество закрашенных соседей (соседями считаются клетки, которые соприкасаются по стороне). Вопрос заключается в том, сможет ли Саша закрасить все клетки этого прямоугольника, если размеры прямоугольника будут: а) 8×9 клеток; б) 8×10 клеток.### Часть (а): Прямоугольник 8×9 клеток1. **Начальный шаг**: Мы имеем прямоугольник 8×9 клеток, и одна из них уже закрашена. Допустим, закрашена клетка в первой строке и первой колонке.2. **Закрашивание ряда**: Согласно правилу, клетка может быть закрашена, если у нее нечетное количество закрашенных соседей. Начнем с закрашивания клеток в первом ряду. Поскольку первая клетка уже закрашена, следующая клетка в этом ряду будет иметь один закрашенный сосед (левую клетку), что нечетное количество. Закрашиваем ее. Теперь у следующей клетки в этом ряду будет два закрашенных соседа (левая и правая), что четное количество. Следовательно, мы не можем закрасить эту клетку. Однако, если мы закрасим клетку через одну, у нее будет опять нечетное количество закрашенных соседей.3. **Продолжение закрашивания**: Продолжаем этот процесс для всего ряда. Мы можем закрасить каждую вторую клетку, так как у них будет нечетное количество закрашенных соседей. Это приведет к тому, что в первом ряду будут закрашены клетки 1, 3, 5, 7, 9.4. **Закрашивание столбцов**: Теперь, когда у нас закрашены клетки в первом ряду через одну, можем начать закрашивать клетки в первом столбце. Каждая клетка в первом столбце, начиная со второй строки, будет иметь один закрашенный сосед (клетка выше), что нечетное количество. Закрашиваем их.5. **Продолжение закрашивания**: Продолжаем закрашивать клетки по столбцам через один, как мы делали с ряда. Это позволит закрасить все клетки в первом столбце и через один столбец.6. **Повторение процесса**: Повторяем этот процесс для оставшихся строк и столбцов. Каждый раз, когда мы закрашиваем клетку, мы проверяем количество закрашенных соседей и закрашиваем клетки с нечетным количеством.7. **Итог**: Продолжая этот процесс, мы сможем закрасить все клетки в прямоугольнике 8×9.### Часть (б): Прямоугольник 8×10 клеток1. **Начальный шаг**: Аналогично, у нас есть прямоугольник 8×10 клеток с одной закрашенной клеткой.2. **Закрашивание ряда**: Пытаемся закрасить клетки в первом ряду, как в случае с 8×9. Однако, в этом случае, количество клеток в ряду четное (10 клеток). Это может создать проблемы, так как при закрашивании через одну клетку, мы можем столкнуться с тем, что последняя клетка в ряду не будет закрашена, так как у нее будет четное количество закрашенных соседей.3. **Закрашивание столбцов**: Пытаемся закрасить клетки в первом столбце, но аналогичная проблема может возникнуть, так как количество строк также четное (8 строк). Это может привести к тому, что некоторые клетки не будут закрашены.4. **Анализируем правила**: Если мы попытаемся закрасить клетки через одну, как в предыдущем случае, мы можем столкнуться с тем, что не сможем закрасить все клетки, так как последняя клетка в ряду или столбце останется незакрашенной.5. **Итог**: Из-за четного количества клеток в рядах и столбцах, мы не сможем закрасить все клетки в прямоугольнике 8×10, так как последняя клетка в ряду или столбце останется незакрашенной.### Заключение- Для прямоугольника размером 8×9 клеток Саша сможет закрасить все клетки.- Для прямоугольника размером 8×10 клеток Саша не сможет закрасить все клетки.[boxed{text{Да}}][boxed{text{Нет}}]

💡First, I need to determine how much time Melissa spends on tasks other than replacing the buckle. She spends a total of 30 minutes on the project and 5 minutes replacing the buckle. By subtracting the time spent on the buckle from the total time, I can find the time spent on evening out the heels for both shoes.Next, since the time spent on evening out the heels is for both shoes, I need to divide this time by 2 to find out how much time she spends on each individual shoe.Finally, by performing these calculations, I can determine the time Melissa spends on evening out the heel for each shoe.

💡First, I need to determine the amount of HCl in each of the two solutions.For the 60 mL of 40% HCl solution:- Multiply the volume by the percentage to find the amount of HCl.- 60 mL * 0.40 = 24 mL of HCl.For the 90 mL of 15% HCl solution:- Multiply the volume by the percentage to find the amount of HCl.- 90 mL * 0.15 = 13.5 mL of HCl.Next, I'll add the amounts of HCl from both solutions to find the total amount of HCl in the mixed solution:- 24 mL + 13.5 mL = 37.5 mL of HCl.Then, I'll calculate the total volume of the mixed solution by adding the volumes of the two solutions:- 60 mL + 90 mL = 150 mL.Finally, to find the percentage of HCl in the final solution, I'll divide the total amount of HCl by the total volume and multiply by 100:- (37.5 mL / 150 mL) * 100 = 25%.Therefore, the percentage of HCl in the final solution is 25%.

💡First, I need to determine the depth of the river. I know the width of the river is 55 meters, the flow rate is 1 km/h, and the volume of water flowing into the sea per minute is 2750 cubic meters.To work with consistent units, I'll convert the flow rate from kilometers per hour to meters per minute. Since 1 kilometer is 1000 meters and 1 hour is 60 minutes, the flow rate in meters per minute is:1 km/h = 1000 meters / 60 minutes ≈ 16.67 meters per minute.Next, I'll use the formula for the volume of water flowing per minute:Volume = Width × Depth × Flow Rate.Plugging in the known values:2750 = 55 × Depth × 16.67.To find the depth, I'll rearrange the formula:Depth = 2750 / (55 × 16.67).Calculating the denominator:55 × 16.67 ≈ 916.85.Finally, dividing the volume by this product gives the depth:Depth ≈ 2750 / 916.85 ≈ 3 meters.

💡Alright, so I've got this problem here with two vectors, a and b. Vector a is (-2, 1) and vector b is (-1, 3). The question is asking which of the options A, B, C, or D is correct regarding their relationship. Let me try to figure this out step by step.First, let's recall what the options are:A: a is parallel to b.B: a is perpendicular to b.C: a is parallel to (a - b).D: a is perpendicular to (a - b).Okay, so I need to check each of these one by one.Starting with option A: a is parallel to b.I remember that two vectors are parallel if one is a scalar multiple of the other. That means there exists some scalar k such that a = k*b. So, let's see if that's the case here.Vector a is (-2, 1) and vector b is (-1, 3). Let's see if we can find a scalar k such that:-2 = k*(-1) and 1 = k*3.From the first equation: -2 = -k, so k = 2.From the second equation: 1 = 3k, so k = 1/3.Hmm, k is 2 in the first equation and 1/3 in the second. That's not the same, so there's no scalar k that satisfies both equations. Therefore, vectors a and b are not parallel. So, option A is incorrect.Moving on to option B: a is perpendicular to b.I remember that two vectors are perpendicular if their dot product is zero. The dot product formula is a·b = a_x*b_x + a_y*b_y.Let's compute the dot product of a and b:a·b = (-2)*(-1) + (1)*(3) = 2 + 3 = 5.Since 5 is not zero, the vectors are not perpendicular. So, option B is also incorrect.Now, option C: a is parallel to (a - b).First, I need to find the vector (a - b). Let's compute that.a - b = (-2 - (-1), 1 - 3) = (-2 + 1, 1 - 3) = (-1, -2).So, vector (a - b) is (-1, -2).Now, to check if a is parallel to (a - b), we can use the same method as in option A. That is, see if there's a scalar k such that a = k*(a - b).So, vector a is (-2, 1) and vector (a - b) is (-1, -2). Let's see:-2 = k*(-1) and 1 = k*(-2).From the first equation: -2 = -k, so k = 2.From the second equation: 1 = -2k, so k = -1/2.Again, k is 2 in the first equation and -1/2 in the second. They are not equal, so vectors a and (a - b) are not parallel. Therefore, option C is incorrect.Finally, option D: a is perpendicular to (a - b).We already found that (a - b) is (-1, -2). Let's compute the dot product of a and (a - b).a·(a - b) = (-2)*(-1) + (1)*(-2) = 2 - 2 = 0.Since the dot product is zero, vectors a and (a - b) are perpendicular. So, option D is correct.Let me just double-check my calculations to make sure I didn't make any mistakes.For option A: a = (-2,1), b = (-1,3). Checking if a is a scalar multiple of b. -2/-1 = 2, and 1/3 ≈ 0.333. Not equal, so not parallel.Option B: Dot product of a and b is (-2)*(-1) + 1*3 = 2 + 3 = 5 ≠ 0, so not perpendicular.Option C: a - b = (-1, -2). Checking if a is parallel to (a - b). -2/-1 = 2, and 1/-2 = -0.5. Not equal, so not parallel.Option D: Dot product of a and (a - b) is (-2)*(-1) + 1*(-2) = 2 - 2 = 0, so they are perpendicular.Yep, everything checks out. So, the correct answer is D.